Mencari Himpunan Penyelesaian sebuah ketaksamaan

Pikiran untuk menuliskan judul di atas muncul sewaktu melihat kebanyakan mahasiswa tingkat satu bingung jika mencari himpunan penyelesaian sebuah ketaksamaan yang mempunyai dua faktor linier. Misalnya (x-2)(x+1)>0 ataupun (x-2)(x+1)<0. Ini mungkin disebabkan pembelajaran yang diberikan oleh guru ataupun dosen keliru dalam melakukan langkah jawab dari masalah di atas.
Pada umumnya, ketika dihadapkan pada ketaksamaan di atas, langkah pertama adalah mencari nilai x yang membuat nol persamaan pada ruas kiri. Jadi diperoleh: x=2 dan x=-1. Kemudian untuk mencari himpunan penyelesaian dari ketaksamaan, kita akan membuat garis real. Garis bilangan real akan dibagi menjadi tiga daerah, yaitu x<-1, -1<x2. Langkah berikutnya adalah: ambil masing-masing satu wakil dari tiga daerah itu kemudian uji ke bentuk di ruas kiri, maka diperoleh Himpunan penyelesaian untuk (x-2)(x+1)>0 adalah {x| x>2 atau x<-1}, dan Himpunan penyelesaian untuk (x-2)(x+1)<0 adalah {x|-1<x<2}.
Metode untuk memperoleh solusi ketaksamaan seperti itu secara umum sudah diterima sebagai proses menjawab yang benar. Namun dari sisi kerunutan proses menjawab sepertinya itu bukanlah langkah jawab yang semestinya. Karena kita tidak mendasarkan membuat garis bilangan real itu dari langkah (x-2)(x+1)>0. Dapatkah kita melakukan proses jawab tidak mendasarkan pada sebuah grafik garis bilangan real dan betul-betul melakukan proses jawab dari apa yang diketahui terhadap ketaksamaan itu sendiri?
Bagaimana mendapatkan solusi persamaan (x-2)(x+1)=0, dituangkan dalam proses jawab berikut:
(x-2)(x+1)=0
maka (x-2)=0 atau (x+1)=0
maka x=2 atau x=-1.
Persamaan di atas menyatakan nilai x dapat diperoleh dari kenyataan bahwa jika dua faktor bilangan dikalikan hasilnya nol, maka salah satu faktor itu haruslah sama dengan nol, dan seterusnya… sehingga diperoleh solusinya adalah x=2 atau x=-1.
Marilah kita mencoba untuk menggunakan alur logika dalam menjawab ketaksamaan (x-2)(x+1)>0.

Pandang (x-2)(x+1)>0,
maka (x-2)>0 dan (x+1)>0, atau (x-2)<0 dan (x+1)<0,
maka x>2 dan x>-1, atau x<2 dan x<-1,

Tinjau untuk x>2 dan x>-1.
Maka Nilai-nilai dari x yang memenuhi sekaligus x>2 dan x>-1 adalah x>2. Himpunan {x|x>2} adalah himpunan irisan dari {x|xgt;2} dan {x|x>-1}. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x|x>2}.

Tinjau untuk x<2 dan x<-1.
Sebaliknya jika keduanya negatif, maka nilai x<2 dan x<-1. Dengan cara yang sama, Nilai-nilai x dari himpunan {x| x<-1} jelas termuat di {x| x<2}. Maka {x| x<-1} adalah irisan dari kedua himpunan {x| x<-1} dan {x| x<2}. Jadi himpunan penyelesaian adalah {x| x<-1}.

Maka ketaksamaan (x-2)(x+1)>0 mempunyai himpunan penyelesaian {x|x>2} atau {x| x<-1}. Atau, cukup dikatakan bahwa himpunan penyelesaiannya adalah {x| x<-1 atau x>2}. Dengan kata lai semua nilai x yang lebih besar dari 2 atau nilai x yang lebih kecil dari -1 merupakan solusi ketaksamaan (x-2)(x+1)>0.

Bagaimana dengan bentuk ketaksamaan (x-2)(x+1)<0?
Caranya sama saja.
Perhatikan bahwa perkalian dua bilangan (x-2) dan (x+1) negatif jika (x-2) negatif dan (x+1) positif atau sebaliknya, (x-2) positif dan (x+1) negatif.
Tinjau untuk (x-2)<0 dan (x+1)>0
Jika (x-2) negatif dan (x+1) positif, maka nilai x harus lebih kecil dari 2 dan harus lebih besar dari -1. Sehingga nilai-nilai x yang memenuhi adalah nilai-nilai x di antara -1 dan 2. Jadi nilai x terletak pada himpunan {x| -1< x<2}.

Tinjau untuk (x-2)>0 dan (x+1)<0.
Jika (x-2) positif dan (x+1) negatif, maka nilai x harus lebih besar dari 2 tapi di sisi lain x harus bernilai lebih kecil dari -1. Fakta ini menunjukkan bahwa himpunan yang memuat x dengan sifat demikian tidak pernah ada.Dengan kata lain Daerah penyelesaiannya adalah himpunan kosong.
Maka himpunan penyelesaian yang mungkin untuk (x-2)(x+1)<0 adalah semua nilai x yang terletak di antara -1 dan 2, atau dituliskan menjadi {x| -1<x <2}.

Jadi ketika kita menghadapi persoalan ketaksamaan haruslah dikembalikan kepada sifat-sifat perkalian dua buah bilangan yang menghasilkan bilangan positif atau bilangan negatif. Proses jawab seperti ini tentu dapat diperumum jika diperoleh kasus tiga faktor linier atau lebih dari sebuah ketaksamaan.
Berikut ini adalah latihan untuk kita semua!

Tentukan himpunan penyelesaian dari ketaksamaan berikut;
1. (1-2x)(x+1) > 0
2. (x+1)(x-3)(2×-5) < 0
3. (2×-1)(x+4)(3×-9) > 0
4. (1-x)(x-2)(x+3)(x-6) < 0
5. (1-x)(x-2)(x+3)(x-6) > 0

Nah, selamat mencoba!

About these ads
This entry was posted in Uncategorized. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s